SVM 支持向量机算法（Support Vector Machine ）【Python机器学习系列（十四）】
文章目录
- 1.SVM简介
- 2. SVM 逻辑推导
- 2.1 Part1 化简限制条件
- 2.2 Part2 SVM拉格朗日乘子法求解
- 2.3 Part3 求解超平面
- 3.核函数
- 4. 软间隔支持向量机
- 5. 支持向量回归 SVR
- 6.python实现支持向量机
- 6.1 方法详解
- 6.2 案例展示
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大家好，量机我是算法侯小啾！
今天分享的机器内容是支持向量机算法的逻辑，及其python实现。学习系列
1.SVM简介
在深度学习出现之前，量机支持向量机 被称为表现最好的算法算法。支持向量机算法适用于一些复杂数据的机器分类。现在更多用的学习系列是深度学习，深度学习的量机效果大于SVM。但是算法SVM作为经典算法，还是机器十分重要，是学习系列学习机器学习过程的必修内容。
SVM具有两个特点：1.适合小样本。量机2.数学逻辑优美。算法
支持向量机算法分为线性可分的机器支持向量机和 非线性可分的支持向量机。
线性可分样本集：只要我们可以用一条直线可以把样本集的两类完全分开，就可以将其称为线性可分样本集。反之，称为非线性可分样本集。
支持向量机的超平面具有唯一性。可以分割样本数据的线（或超平面）存在有无数条，但是只有一条是最好的。找到这条线（或超平面），是支持向量机算法要做的。
SVM算法的目标即为：找到使分类间隔最小距离d 最大的超平面。
2. SVM 逻辑推导
2.1 Part1 化简限制条件
给定样本数据集，假设样本特征为X，样本标签为y。
每个样本的特征值可以展示为： x 1 x_1 x1, x 2 x_2 x2, x 3 x_3 x3,… x n x_n xn。y 的取值只能有+1和-1.
欲将这些样本分为二类，则需要找到中间的超平面。该超平面表示为：
ω T x + b = 0 \omega^Tx + b = 0 ωTx+b=0
其中 ω \omega ω 称为法向量，其决定了超平面的方向。
点到超平面的距离可以表示为
r i = ∣ ω T x i + b ∣ ∣ ∣ ω ∣ ∣ r_i = \frac{|omega^Tx_i + b |}{||omega||} ri=∣∣ω∣∣∣ωTxi+b∣
这里的 x i x_i xi指的不再是超平面上的点，而是样本点的向量。
以二维的情况中点与线的关系为例进行说明，假设有一个点 点A(m,n) 和一条线ax+by+c=0，则当点在线上时，直线的等号会刚好成立。当点分布于直线的两侧时，分别可写作am+bn+c>0，am+bn+c<0。多维情况下，也是同理。
再结合点到超平面的距离公式， r i r_i ri也可以写为：
r i = ω T x i + b ∣ ∣ ω ∣ ∣ y i r_i =\frac{omega^Tx_i + b}{||omega||}y_i ri=∣∣ω∣∣ωTxi+byi
其中，位于超平面 ω T x i + b = 0 \omega^Tx_i + b = 0 ωTxi+b=0 左右的标签对应的y_i的正负不要设定反了，只有设定正确该公式才可以保证得到正值。不然的话保证得到的就会是负值。
然后就是要寻找 支持向量。支持向量是距离超平面最近的点的向量，分布在超平面的两边，所以这样的点至少有两个，即支持向量至少有两个。（至少左右各一个）。
我们下一步要做的，即：求 r i r_i ri关于 x i x_i xi的极小值，再求该极小值关于 ω \omega ω和 b b b的极大值。
对该距离公式的分子， ω T x i + b \omega^Tx_i + b ωTxi+b，即超平面的方程 ω T x + b = 0 \omega^Tx + b = 0 ωTx+b=0 的一部分，考虑到超平立面的方程，就像二维的直线方程一样是可以放缩的（登号两边同乘以一个数），因此可以通过放缩，使得 ω T x i + b = 1 \omega^Tx_i + b =1 ωTxi+b=1成立。以此作为限制条件，这样就可以把分母消去了。
该约束条件可表示为
r i = ω T x i + b ∣ ∣ ω ∣ ∣ y i ≥ 1 ∣ ∣ ω ∣ ∣ r_i =\frac{omega^Tx_i + b}{||omega||}y_i≥\frac{1}{||omega||} ri=∣∣ω∣∣ωTxi+byi≥∣∣ω∣∣1
提示：这里的限制条件只用了一个表达式表示，实际上有m个（m也是样本点的个数）。每个样本点对应一个限制条件。
当且仅目标当样本 x i x_i xi为支持向量时，等号成立，取得点到超平面的最小距离 1 ∣ ∣ ω ∣ ∣ \frac{1}{||omega||} ∣∣ω∣∣1。
目标函数，即点到超平面的最小距离 1 ∣ ∣ ω ∣ ∣ \frac{1}{||omega||} ∣∣ω∣∣1。要使该最小距离最大化，即 ∣ ∣ ω ∣ ∣ ||\omega|| ∣∣ω∣∣最小，为了后边计算方便，进一步将研究问题及表达式转化为，求 1 2 ∣ ∣ ω ∣ ∣ 2 \frac{1}{2}||\omega||^2 21∣∣ω∣∣2关于 ω \omega ω和 b b b的最小值。
目标函数即：
m i n ω , b 1 2 ∣ ∣ ω ∣ ∣ 2 min_{omega,b}\frac{1}{2}||\omega||^2 minω,b21∣∣ω∣∣2
进一步，限制条件可再转化为：
( ω T x i + b ) y i − 1 ≥ 0 (\omega^Tx_i + b)y_i-1 ≥ 0 (ωTxi+b)yi−1≥0
2.2 Part2 SVM拉格朗日乘子法求解
现在我们已经得到了目标函数表达式与限制条件的表达式，可以使用拉格朗日乘子法对其进行求解。
构建拉格朗日函数表达式如下：
L ( ω , b , λ ) = 1 2 ∣ ∣ ω ∣ ∣ 2 + ∑ i = 1 m λ i [ 1 − ( ω T x i + b ) y i ] L(\omega,b,\lambda)=\frac{1}{2}||\omega||^2+\sum_{i=1}^{m}{lambda_i}{[1-(omega^Tx_i+b)y_i]} L(ω,b,λ)=21∣∣ω∣∣2+∑i=1mλi[1−(ωTxi+b)yi]
= 1 2 ω T ω + ∑ i = 1 m λ i [ 1 − ( ω T x i + b ) y i ] =\frac{1}{2}\omega^T \omega+\sum_{i=1}^{m}{lambda_i}{[1-(omega^Tx_i+b)y_i]} =21ωTω+∑i=1mλi[1−(ωTxi+b)yi]
目标问题是一个凸二次规划问题：目标函数是二次型函数，且约束函数是仿射函数。所以该问题有全局最小值。
其中， λ \lambda λ是拉格朗日乘子，这里的m是样本的个数，每个样本对应一个拉格朗日算子，共计m个拉格朗日算子，对应m个限制条件。
对 F ( ω , b , λ ) 对F(\omega,b,\lambda) 对F(ω,b,λ)求关于 ω \omega ω 和 b b b的偏导，并令其为0，再求解：
∂ L ( ω , b , λ ) ∂ ω = ω − ∑ i = 1 m λ i y i x i = 0 \frac{∂L(omega,b,lambda)}{∂omega}=\omega-\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i=0 ∂ω∂L(ω,b,λ)=ω−∑i=1mλiyixi=0
∂ L ( ω , b , λ ) ∂ b = − ∑ i = 1 m λ i y i = 0 \frac{∂L(omega,b,lambda)}{∂b}=-\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i=0 ∂b∂L(ω,b,λ)=−∑i=1mλiyi=0
解得
ω = ∑ i = 1 m λ i y i x i \omega=\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i ω=∑i=1mλiyixi
0 = ∑ i = 1 m λ i y i 0=\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i 0=∑i=1mλiyi
将求解结果带回原 L ( ω , b , λ ) L(\omega,b,\lambda) L(ω,b,λ)，并进一步化简得：
L ( ω , b , λ ) = 1 2 ω T ω + ∑ i = 1 m λ i − ω T ∑ i = 1 m λ i y i x i − b ∑ i = 1 m λ i y i L(\omega,b,\lambda)=\frac{1}{2}\omega^T \omega+\sum_{i=1}^{m}\lambda_i -\omega^T\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i-b\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i L(ω,b,λ)=21ωTω+∑i=1mλi−ωT∑i=1mλiyixi−b∑i=1mλiyi
= ∑ i = 1 m λ i − 1 2 ω T ω =\sum_{i=1}^{m}\lambda_i-\frac{1}{2}\omega^T\omega =∑i=1mλi−21ωTω
= ∑ i = 1 m λ i − 1 2 ( ∑ i = 1 m λ i y i x i ) T ( ∑ i = 1 m λ i y i x i ) =\sum_{i=1}^{m}\lambda_i - \frac{1}{2}( \sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i)^T (\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i) =∑i=1mλi−21(∑i=1mλiyixi)T(∑i=1mλiyixi)
= ∑ i = 1 m λ i − 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m λ i λ j y i y j x i T x j =\sum_{i=1}^{m}\lambda_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\lambda_i\lambda_jy_iy_jx_i^Tx_j =∑i=1mλi−21∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj
上边已经说到，将这两个表达式带入 L ( ω , b , λ ) L(\omega,b,\lambda) L(ω,b,λ)后，我们得到的新的表达式中已经没有了 ω \omega ω和 b b b，只剩下的参数为 λ \lambda λ，这个新表达式的限制条件即为我们带入的两个式子，这两个式子表示该表达式关于 ω \omega ω和 b b b的极小值。
进而求关于 λ \lambda λ的极值，到此要求解的函数已经转化为：
∑ i = 1 m λ i − 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m λ i λ j y i y j x i T x j \sum_{i=1}^{m}\lambda_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\lambda_i\lambda_jy_iy_jx_i^Tx_j ∑i=1mλi−21∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj
要求解的是该式关于 λ \lambda λ的极大值，所以也即求解
1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m λ i λ j y i y j x i T x j − ∑ i = 1 m λ i \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\lambda_i\lambda_jy_iy_jx_i^Tx_j-\sum_{i=1}^{m}\lambda_i 21∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj−∑i=1mλi
的极小值。
限制条件为：
s . t . s.t. s.t. ∑ i = 1 m λ i y i = 0 \sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i=0 ∑i=1mλiyi=0
λ i ≥ 0 \lambda_i≥0 λi≥0, i=1,2,…,m
2.3 Part3 求解超平面
目标函数：
m i n ω , b min_{omega,b} minω,b 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m λ i λ j y i y j x i T x j − ∑ i = 1 m λ i \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\lambda_i\lambda_jy_iy_jx_i^Tx_j-\sum_{i=1}^{m}\lambda_i 21∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj−∑i=1mλi
限制条件：
s . t . s.t. s.t. ∑ i = 1 m λ i y i = 0 \sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i=0 ∑i=1mλiyi=0
λ i ≥ 0 \lambda_i≥0 λi≥0, i=1,2,…,m
然后接下来，不难发现这是一个二次规划问题，将每个样本点的 x i x_i xi、 y i y_i yi替换为样本值数字，然后求目标函数关于 λ 1 \lambda_1 λ1， λ 2 \lambda_2 λ2，… ， λ n \lambda_n λn的偏导数，并令其等于0，从而得到m个等式，联立这 m 个等式，以及 ∑ i = 1 m λ i y i = 0 \sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i=0 ∑i=1mλiyi=0进行求解。理论上即可以求出 λ 1 \lambda_1 λ1， λ 2 \lambda_2 λ2，… ， λ n \lambda_n λn的值。
再将这些值代入表达式 ω ∗ = ∑ i = 1 m λ i y i x i \omega^*=\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i ω∗=∑i=1mλiyixi 即可求解出 ω ∗ \omega^* ω∗。（ ω 1 \omega_1 ω1, ω 2 \omega_2 ω2, … , ω n \omega_n ωn）
再由公式
b ∗ = y − ∑ i = 1 m λ i y i x i T x i b^* =y-\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i^Tx_i b∗=y−∑i=1mλiyixiTxi
代入支持向量，即可求得参数b的值。这是一种解方程的思路。但是这种方法过于繁琐，只是理论上可行。
在解决这个问题方面，先辈们提出了很多高效的算法，比如SMO算法（Sequential Minimal Optimization）。
使用梯度下降法，也可以如愿求得超平面的方程。
最后，根据下式（符号函数sgn）即可对样本数据进行分类：
f ( x ) = s g n ( ω ∗ T x + b ∗ ) f(x)=sgn(\omega^{*T}x+b^*) f(x)=sgn(ω∗Tx+b∗)
3.核函数
到此我们已经完整地实现了线性可分的支持向量机。但是现实中目标数据未必一直是线性可分的。面对这样的情况，我们可以使用 核函数 对原始目标数据进行“升维”操作。
如果原始数据是有限维的，那么一定会存在一个更高维的特征空间使得样本线性可分。
用 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)表示 x x x经过映射后的特征向量，则核函数可以表示为
k ( x i , x j ) = < ϕ ( x i ) , ϕ ( x j ) >= ϕ ( x i ) T ϕ ( x j ) k(x_i,x_j)=<\phi(x_i),\phi(x_j)>=\phi(x_i)^T\phi(x_j) k(xi,xj)=<ϕ(xi),ϕ(xj)>=ϕ(xi)Tϕ(xj)
核函数的具体形式我们通常是不知道的。
但是 核函数定理表明，只要一个对称函数（ k ( x i , x i ) k(x_i,x_i) k(xi,xi)）对应的核矩阵半正定，它就能作为核函数使用。
几种常用的核函数如下：
| 核函数 | 描述 | 参数 |
|---|---|---|
| 线性核 | k ( x i , x j ) = x i T x j k(x_i,x_j)=x_i^Tx_j k(xi,xj)=xiTxj | 无 |
| 多项式核 | k ( x i , x j ) = ( x i T x j ) d k(x_i,x_j)=(x_i^Tx_j)^d k(xi,xj)=(xiTxj)d | d ≥ 1 d≥1 d≥1，表示多项式的次数 |
| 高斯核 | k ( x i , x j ) = e x p ( − ∣ ∣ x i − x j ∣ ∣ 2 2 σ 2 ) k(x_i,x_j)=exp(-\frac{||x_i-x_j||^2}{2sigma^2}) k(xi,xj)=exp(−2σ2∣∣xi−xj∣∣2) | σ ＞ 0 \sigma＞0 σ＞0，为高斯核的带宽(width) |
| 拉普拉斯核 | k ( x i , x j ) = e x p ( − ∣ ∣ x i − x j ∣ ∣ σ ) k(x_i,x_j)=exp(-\frac{||x_i-x_j||}{sigma}) k(xi,xj)=exp(−σ∣∣xi−xj∣∣) | σ ＞ 0 \sigma＞0 σ＞0 |
| Sigmoid核 | k ( x i , x j ) = t a n h ( β x i T + θ ) k(x_i,x_j)=tanh(\beta x_i^T+\theta) k(xi,xj)=tanh(βxiT+θ) | tanh是双曲正切函数， β >0 , θ < 0 \beta>0,\theta<0 β>0,θ<0 |
其中，高斯核函数，也称径向基函数（Radial Basis Function 简称RBF）。
此外，核函数也可以通过多个核函数与正数的线性组合得到，如 a k 1 + b k 2 ak_1+bk_2 ak1+bk2；
也可以通过两个核函数的直积得到： k 1 ( x , z ) k 2 ( x , z ) k_1(x,z)k_2(x,z) k1(x,z)k2(x,z)；
也可以通过任意函数g(x)得到： g ( x ) k 1 ( x , z ) g ( z ) g(x)k1(x,z)g(z) g(x)k1(x,z)g(z)。
4. 软间隔支持向量机
线性可分支持向量机中的约束条件要求所有的样本都必须划分正确，这个间隔称为“硬间隔”。这也导致线性可分的支持向量机可能带来过拟合的问题，为了缓解这个问题，可以通过使用 软间隔来允许支持向量机在对少数样本分类时出错。
于是，经过优化的目标函数可以写为：
m i n ω , b min_{omega,b} minω,b 1 2 ∣ ∣ ω ∣ ∣ 2 + C ∑ i = 1 m φ 0 / 1 ( y i ( ω T x i + b ) − 1 ) \frac{1}{2}||\omega||^2+C\sum_{i=1}^{m}\varphi_{0/1}(y_i(\omega^Tx_i+b)-1) 21∣∣ω∣∣2+C∑i=1mφ0/1(yi(ωTxi+b)−1)
其中，C>0，C是一个常数。C越大，则分类的准确性就会越高，但是会因为过拟合导致，泛化能力会变差
C越小则分类的准确性会越低。
φ 0 / 1 \varphi_{0/1} φ0/1是损失函数:
φ 0 / 1 ( z ) = { 1 , i f z < 0 ; 0 , o t h e r w i s e \varphi_{0/1}(z)=\left\{ \begin{aligned} 1 &,& if\quad z<0; \\ 0&,&otherwise \end{aligned} \right. φ0/1(z)={10,,ifz<0;otherwise
然而这个损失函数的性质不太好导致后续不易求解，所以可以使用“替代损失”函数，
三种常用的替代损失函数如下：
hinge损失： φ h i n g e ( z ) = m a x ( 0 , 1 − z ) \varphi_{hinge}(z)=max(0,1-z) φhinge(z)=max(0,1−z)
指数损失 φ e x p o n e n t i a l l o s s = e x p ( − z ) \varphi_{exponential loss}=exp(-z) φexponentialloss=exp(−z)
对率损失 φ l o g i s t i c l o s s = l o g ( 1 + e x p ( − z ) ) \varphi_{logistic loss}=log(1+exp(-z)) φlogisticloss=log(1+exp(−z))
5. 支持向量回归 SVR
线性可分的支持向量机SVM通过求解出的超平面对数据进行分类，因此该算法不仅仅可以分类，也可以稍作迁移，当作回归算法来使用。求解超平面的过程，也即求解回归方程的过程，该过程被称为支持向量回归（SVR）。
显然，支持向量回归不同于传统的回归过程，传统的回归过程会计算所有回归值与真实值之间的损失，但是SVR则会假设一个 ϵ \epsilon ϵ作为一个偏差值，只有当真实值与回归值的差别绝对值大于 ϵ \epsilon ϵ时，才会计算损失。（即形成了一条“隔离带”，在隔离带外的点才计算损失）
6.python实现支持向量机
6.1 方法详解
sklearn.svm中提供了SVC, SVR，LinearSVC, LinearSVR, NuSVC, NuSVR, OneClassSVM, l1_min_c一系列类。
其中，SVC和SVR分别对应着通用的 支持向量机和 支持向量回归，可以通过改变其参数来灵活应用。默认使用高斯核函数(即默认参数 kernel=“rbf”)。参数C即正则化常数，默认为1且大于0，正则化的程度与C成反比，C越大，则算法区域迫使所有样本满足约束，以至于可能导致过拟合；C取有限制时则会允许一些样本不满足约束。
其中，使用核函数时，参数kernel可用的值汇总如下：
| 参数值 | 描述 |
|---|---|
| ‘rbf’ | 高斯核函数，也称径向基函数，是默认值 |
| ‘linear’ | 线性核函数 |
| ‘poly’ | 多项式核函数 |
| ‘sigmoid’ | Sigmoid核函数 |
| ‘precomputed’ | 自定义核 |
LinearSVC, LinearSVR即为线性支持向量机，和线性支持向量回归，相当于是指定使用线性核的SVC和SVR。所以没有kernel参数，不能指定核函数。
NuSVC支持向量机，NuSVR支持向量回归，与SCV和SCR不同的是，NuSVC支持向量机和NuSVR支持向量回归没有参数C，但是有一个nu参数。
参数nu代表训练集训练的错误率的上限，或者说是支持向量的百分比下限，取值范围为(0,1]，默认为0.5.它和惩罚系数C类似，都可以控制惩罚的力度。nu可以理解为是C的再参数化，在数学上是等效的。
此外，其默认也是使用rbf核函数（高斯核函数）。
类OneClassSVM实现了一个用于离群点检测的类；l1_min_c是用于计算C的下界，以便获得非“空”（所有特征权重为零）模型的。这里在这方面不做过多深入。
6.2 案例展示
使用支持向量机对葡萄酒数据进行分类为例，过程中使用线性核函数，且指定正则化常数C为2（默认为1）。算法的逻辑虽然有些复杂，但是代码非常简单。
from sklearn.svm import SVCfrom sklearn.datasets import load_winefrom sklearn.model_selection import train_test_splitwine = load_wine()x_data = wine.datay_data = wine.targetx_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x_data, y_data, random_state=1)model = SVC(C=2, kernel='linear')model.fit(x_train, y_train)test_score = model.score(x_test,y_test)pred = model.predict(x_test)print('模型得分：{:.3f}'.format(model.score(x_test, y_test)))print(pred)模型得分与预测结果如下图所示：
本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！
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